恭喜犀牛学员AMC取得佳绩！从AMC8进阶AIME路有多远？

01

提及数论，我在这里不得不夸一句，咱们犀牛国际的知识体系，是我从教AMC体系以来衔接最紧密的。

有些机构在对待AMC8数论部分都会轻描淡写的带过，这样对孩子的AMC8成绩不会有什么太大影响（因为AMC8中数论部分考察较浅，用体制内或者小学奥数的整数知识也能解决），但是一旦上升到AMC10这个平台，对整除运用不熟练，对阶乘、末尾数字这些考试常见的重难点不够熟悉，咱们孩子进入一个10年级竞赛状态的速度就会被这些薄弱项拖慢。诸如此类，同余问题、模运算等知识也是学生进入10这个难度以后容易卡壳的点，这边也不太建议家长带孩子自行预习，对重点知识的第一印象有时很重要。

接下来简述下排列组合这部分，如果说数论知识可以用“整数问题”来形容，那么排列组合问题，我想也可以用“数数问题”四个字来形容。

听上去很简单对不对？实际上数数也是一件大有学问的事情。测度论里有个名词叫“可数性”，今天借用一下，谈谈什么是我眼中排列组合中的“可数性”。以一个学生的视角来看，从8晋级到10，无非是学的模型多了几个，题目难了一点，比如从“加法、乘法原理，捆绑法插板法”这些简单模型，进阶到一些更为抽象、复杂的模型。这种视角在我看来正确但是有偏差，整个排列组合部分其实在教我们一件很简单的事情，叫做“沿着怎样的思路分类可以“不重不漏”地数完所有可能性”，我在自己的课堂上习惯称之为“可数性”，或者说从怎样的逻辑看，此问题是“可以数出来”的，找到这条逻辑，此题目立即得证。当然这种“可数”并不是说要“123456”这样掰手指头数，而是运用“加法和乘法”这两个最基础也是最本质性的思考问题的方式，解决咱们的一道道难题。

这里放一道某年的AMC10压轴题，读完题目之后，大家挨个数，想必也是能数出来的，家长朋友有兴趣也可以试试，乍看之下是一道讲因子分解的题目，或者说是典型的数论题目对不对？但是这题最快的解法竟然是一种排列组合解法？！！！（常规解法大概15分钟，排列组合解法只需五分钟）这个解法只需要两个步骤：

第一步：证明因子“3”在六种状态的可加性；

第二步：找出六种状态下因子分解的可乘性。

这道例题在这两年的授课中被我多次引用，其实只是想给学生说明一个道理：

不要把视角局限在对题目第一眼的特征上，要开阔思路看待问题。

除了知识储备以外，在学习中“让学生开阔思路”，培养“解决陌生问题”的能力而非背题能力，我想也是学生在处理AMC8-10gap的这一阶段亟需解决的难点所在。

02